Question

17．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P，Q，R分別是棱A₁A，A₁B₁，A₁D₁的中點(diǎn)，以△PQR為底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個(gè)正三棱柱的高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 分別取過(guò)C點(diǎn)的三條面對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，則此三點(diǎn)為棱柱的另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)，利用中位線(xiàn)定理證明．于是三棱柱的高為正方體體對(duì)角線(xiàn)的一半．

解答 解連結(jié)A₁C，AC，B₁C，D₁C，分別取AC，B₁C，D₁C的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連結(jié)EF，EG，F(xiàn)G．
由中位線(xiàn)定理可得PE$\stackrel{∥}{=}$A₁C，QF$\stackrel{∥}{=}$A₁C，RG$\stackrel{∥}{=}$A₁C．
又A₁C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR-EFG是正三棱柱．
∴三棱柱的高h(yuǎn)=PE=$\frac{1}{2}$A₁C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出三棱柱的底面是計(jì)算棱柱高的關(guān)鍵．