Question

10．設(shè)函數(shù)$f（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}-1$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)$g（x）={x^2}-2bx-\frac{5}{12}$，若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$-\frac{11}{4}$，通過討論b的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定b的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=lnx-x-\frac{1}{x}-1$，∴f（1）=-3，
$f'（x）=\frac{1}{x}-1+\frac{1}{x^2}$，∴f'（1）=1，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-3=x-1，
即x-y-4=0．
（2）當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時(shí)，$f'（x）=-\frac{{3{x^2}-4x-4}}{{4{x^2}}}=-\frac{（x-2）（3x+2）}{{4{x^2}}}$．
所以當(dāng)0＜x＜2，f'（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，
故當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）．
（3）當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時(shí)，由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為$f（1）=-\frac{11}{4}$．
若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立
?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$-\frac{11}{4}$（※）．
又$g（x）={x^2}-2bx-\frac{5}{12}={（x-b）^2}-{b^2}-\frac{5}{12}，x∈[0，1]$．
①當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
$g{（x）_{min}}=g（0）=-\frac{5}{12}＞-\frac{11}{4}$與（※）矛盾．
②當(dāng)0≤b≤1時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（b）=-{b^2}-\frac{5}{12}$，
由$-{b^2}-\frac{5}{12}≤-\frac{11}{4}$及0≤b≤1得b無解．
③當(dāng)b＞1時(shí)，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，
$g{（x）_{min}}=g（1）=\frac{7}{12}-2b≤-\frac{11}{4}$，此時(shí)$b≥\frac{5}{3}$．
綜上所述，b的取值范圍是$[\frac{5}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．