Question

15．已知命題p：f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為奇函數(shù)；命題q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＜x＜tanx，則下面結論正確的是（　　）

• A． p∧（￢q）是真命題
• B． （￢p）∨q是真命題
• C． p∧q是假命題
• D． p∨q是假命題

Answer 1

分析 對于命題p：函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，計算f（x）+f（-x）即可判斷出奇偶性．命題q：如圖，設∠AOT=x，OA=1，則MP=sinx，OM=cosx，AT=tanx，由圖可知：S_△AOP＜S_扇形OAP＜S_△OAT，即可得出結論．

解答 解：對于命題p：∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，
且f（x）+f（-x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=1+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$=0，即f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)，命題p正確．
命題q：如圖，設∠AOT=x，OA=1，則MP=sinx，OM=cosx，AT=tanx，
由圖可知：S_△AOP＜S_扇形OAP＜S_△OAT，∴sinx＜x＜tanx，
故命題q正確．
由復合命題真假的判斷方法可知：（￢p）∨q是真命題．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的單調性、簡易邏輯的判斷方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．