Question

5．設(shè)函數(shù)f（x），x、y∈N^*滿足：
①?a，b∈N^*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
②?n∈N^*，有f（f（n））=3n，
則f（1）+f（6）+f（28）=66．

Answer 1

分析 利用條件結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)f（x）在x∈N^*，上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用f（f（n））=3n，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行遞過(guò)即可．

解答 解：由①知，對(duì)任意a，b∈N^*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
不妨設(shè)a＜b，則有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），
所以函數(shù)f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)．
∵②?n∈N^*，有f（f（n））=3n，
∴令f（1）=a，則a≥1，顯然a≠1，否則f（f（1））=f（1）=1，與f（f（1））=3矛盾．
從而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由①知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
從而a=2，即f（1）=2．
進(jìn)而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
則f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由①知，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
因此f（28）=54+1=55．
從而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
故答案為：66

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．