Question

14．已知△ABC的三個頂點A（m，n）、B（2，1）、C（-2，3）；
（1）求BC邊所在直線的方程；
（2）BC邊上中線AD的方程為2x-3y+6=0，且S_△ABC=7，求點A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由兩點的斜率公式，算出BC的斜率k=-$\frac{1}{2}$，再由直線方程的點斜式列式，化簡即得BC邊所在直線方程；
（2）由兩點的距離公式，算出|BC|=2$\sqrt{5}$，結(jié)合S_△ABC=7得到點A到BC的距離等于$\frac{7}{\sqrt{5}}$，由此建立關(guān)于m、n的方程組，解之即可得到m，n的值．

解答 解：（1）∵B（2，1），C（-2，3），
∴k_BC=$\frac{3-1}{-2-2}$=-$\frac{1}{2}$，
可得直線BC方程為y-3=-$\frac{1}{2}$（x+2）
化簡，得BC邊所在直線方程為x+2y-4=0；
（2）由題意，得|BC|=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•h=7，解之得h=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
由點到直線的距離公式，
得 $\frac{|m+2n-4|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
化簡得m+2n=11或m+2n=-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=11}\\{2m-3n+6=0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m+2n=-3}\\{2m-3n+6=0}\end{array}\right.$，
解得m=3，n=4或m=-3，n=0，
故A（3，4）或（-3，0）．

點評 本題給出三角形ABC的頂點BC的坐標(biāo)，求直線BC的方程并在已知面積的情況下求點A的坐標(biāo)．著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式等知識．