14.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(m,n)、B(2,1)、C(-2,3);
(1)求BC邊所在直線的方程;
(2)BC邊上中線AD的方程為2x-3y+6=0,且S△ABC=7,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

分析 (1)由兩點(diǎn)的斜率公式,算出BC的斜率k=-$\frac{1}{2}$,再由直線方程的點(diǎn)斜式列式,化簡即得BC邊所在直線方程;
(2)由兩點(diǎn)的距離公式,算出|BC|=2$\sqrt{5}$,結(jié)合S△ABC=7得到點(diǎn)A到BC的距離等于$\frac{7}{\sqrt{5}}$,由此建立關(guān)于m、n的方程組,解之即可得到m,n的值.

解答 解:(1)∵B(2,1),C(-2,3),
∴kBC=$\frac{3-1}{-2-2}$=-$\frac{1}{2}$,
可得直線BC方程為y-3=-$\frac{1}{2}$(x+2)
化簡,得BC邊所在直線方程為x+2y-4=0;
(2)由題意,得|BC|=2$\sqrt{5}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•h=7,解之得h=$\frac{7}{\sqrt{5}}$,
由點(diǎn)到直線的距離公式,
得 $\frac{|m+2n-4|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{7}{\sqrt{5}}$,
化簡得m+2n=11或m+2n=-3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=11}\\{2m-3n+6=0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m+2n=-3}\\{2m-3n+6=0}\end{array}\right.$,
解得m=3,n=4或m=-3,n=0,
故A(3,4)或(-3,0).

點(diǎn)評 本題給出三角形ABC的頂點(diǎn)BC的坐標(biāo),求直線BC的方程并在已知面積的情況下求點(diǎn)A的坐標(biāo).著重考查了直線的基本量與基本形式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識.

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