Question

9．已知圓C經(jīng)過三點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），A₃（1，$\sqrt{3}$）．
（I）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（-3，0）作直線l交圓C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，0）為圓C內(nèi)一點(diǎn)，求△PQN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求得；
（II）$\sqrt{\frac{4（t-1）[4-5（t-1）]}{{t}^{2}}}=\sqrt{\frac{4（t-1）（9-5t）}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{4（\frac{14}{t}-\frac{9}{{t}^{2}}-5）}$，$\frac{1}{t}∈（\frac{7}{9}，1）$，根據(jù)被開方數(shù)為二次函數(shù)求范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，圓C經(jīng)過三點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），A₃（1，$\sqrt{3}$）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{4-2D+F=0}\\{4+2D+F=0}\\{4+D+\sqrt{3}E+F=0}\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{D=0}\\{E=0}\\{F=-4}\end{array}\right.$，
所以x²+y²=4；
（Ⅱ）設(shè)y=k（x+3），點(diǎn)C到直線PQ的距離為$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，所以PQ=2$\sqrt{4-\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{\frac{4-5{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，N到直線PQ的距離為d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，所以S=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}（4-5{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，又$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＜2$，
所以0＜k²＜$\frac{2}{7}$，
令t=1+k²∈（1，$\frac{9}{7}$），
所以S=$\sqrt{\frac{4（t-1）[4-5（t-1）]}{{t}^{2}}}=\sqrt{\frac{4（t-1）（9-5t）}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{4（\frac{14}{t}-\frac{9}{{t}^{2}}-5）}$，$\frac{1}{t}∈（\frac{7}{9}，1）$，所以0＜$\sqrt{4（\frac{14}{t}-\frac{9}{{t}^{2}}-5）}$＜$\frac{4}{9}$，
所以△PQN面積的取值范圍為（0，$\frac{4}{9}$）．

點(diǎn)評 本題考查利用待定系數(shù)法求圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系求面積范圍；借助于二次函數(shù)求范圍．