Question

6．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2bcosA+ccosA+acosC=0．
（1）求角A的大��；
（2）若a=3，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）由2bcosA+ccosA+acosC=0，利用正弦定理可得：2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，進而化為2cosA=-1，根據(jù)A的范圍即可得出．
（2）根據(jù)余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，9=b²+c²+bc，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵2bcosA+ccosA+acosC=0，
∴2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，
∴2sinBcosA+sin（C+A）=0，
∴2sinBcosA=-sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）根據(jù)余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc$cos\frac{2π}{3}$，∴9=b²+c²+bc≥3bc，解得bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取等號．
∴bc的最大值為3．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．