Question

20．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F位于直線x+y-1=0上．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）過拋物線的焦點F作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A，B兩點，求線段AB的中點C的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出焦點進而求出P，從而求出拋物線的方程；
（Ⅱ）先根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)和直線的傾斜角可表示出直線AB的方程，然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得到兩根之和與兩根之積，進而可得到中點C的橫坐標(biāo)

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F位于直線x+y-1=0上，
∴F（1，0）
∴拋物線方程為y²=4x；
（Ⅱ）拋物線y²=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
直線AB的方程為y=x-1，
設(shè)點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
將y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
則x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中點C的橫坐標(biāo)為3．

點評 本題主要考查直線與拋物線的綜合問題和兩點間的距離公式．直線與圓錐曲線的綜合問題一直都是高考的重點，要著重復(fù)習(xí)．