Question

12．某工廠為了增加其產(chǎn)品的銷售量，調(diào)查了該產(chǎn)品投入的廣告費(fèi)用x與銷售量y的數(shù)據(jù)，如表：

廣告費(fèi)用x（萬元）	2	3	4	5	6
銷售量y（萬件）	5	7	8	9	11

由散點(diǎn)圖知可以用回歸直線$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$來近似刻畫它們之間的關(guān)系．
（Ⅰ）求回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的回歸方程模型中，請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)R²說明，廣告費(fèi)用解釋了百分之多少的銷售量變化？
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$；R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)據(jù)求得樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法求得系數(shù)$\stackrel{∧}$，由線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，代入即可求得$\stackrel{∧}{a}$，即可求得回歸直線方程；
（Ⅱ）分別求得$\stackrel{∧}{y}$₁，$\stackrel{∧}{y}$₂…，$\stackrel{∧}{y}$₅，根據(jù)相關(guān)指數(shù)公式求得相關(guān)指數(shù)R²，即可求得廣告費(fèi)用解釋了百分之多少的銷售量變化．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+3+4+5+6）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（5+7+8+9+11）=11，
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=1.4，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=8-1.4×4=2.4，
∴回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=1.4x+2.4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
$\stackrel{∧}{y}$₁=1.4×2+2.4=5.2；
$\stackrel{∧}{y}$₂=1.4×3+2.4=6.6；
$\stackrel{∧}{y}$₃=1.4×4+2.4=8；
$\stackrel{∧}{y}$₄=1.4×5+2.4=9.4；
$\stackrel{∧}{y}$₅=1.4×6+2.4=10.8；
R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{5}（{y}_{i}-\overline{{y}_{i}}）^{2}}$=0.98，
∴廣告費(fèi)用解釋了98%的銷售量變化．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用最小二乘法求線性回歸方程及相關(guān)指數(shù)公式，解答的關(guān)鍵是知道回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．