Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD為菱形，A點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，若BE=PE．
（1）求證：PB⊥BC；
（2）若∠PEB=120°，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠EAB=60°，且AD⊥BE，AD⊥PE，從而AD⊥平面PBE，進(jìn)而AD⊥PB，由此能證明PB⊥BC．
（2）過(guò)P作PO⊥平面ABCD，交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O作DA的平行線(xiàn)為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角二面角A-PB-C的余弦值．

解答 證明：（1）由BE=PE，AB=PA，AE=AE，得△AEP≌△AEB，
∴∠EAB=60°，且AD⊥BE，
又∵AD⊥PE，
∴AD⊥平面PBE，
∵PB?平面PBE，得AD⊥PB，
又AD∥BC，
∴PB⊥BC．
解：（2）如圖，過(guò)P作PO⊥平面ABCD，交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于O，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O作DA的平行線(xiàn)為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，$\frac{3}{2}$），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），PB的中占點(diǎn)G（0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$），連結(jié)AG，
又A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-2，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0），由此得到$\overrightarrow{GA}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$），
$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
∴$\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{PB}$=0，
∴$\overrightarrow{GA}⊥\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PB}$，
∵$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{BC}$的夾角為θ等于所求二面角二面角A-PB-C的平面角，
∴cos$θ=cos＜\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值為-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．