Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=2，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左，右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作x軸的垂線與雙曲線在第一象限交于P點(diǎn)，直線F₁P與右準(zhǔn)線交于Q點(diǎn)，已知

F1P

•

F2Q

=-

15

64

（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過(guò)F₁的直線MN分別與左支，右支交于M、N，線段MN的垂線平分線l與x軸交于點(diǎn)G（x₀，0），若1≤|NF₂|＜3，求x₀的取值范圍．

Answer 1

（1）∵e=2?c=2a，F(xiàn)₁（-2a，0），F(xiàn)₂（2a，0），P（2a，m）m=|PF₂|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
設(shè)Q(

a

2

，t)∵F₁，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)共線∴t=

15a

8

∵

F1Q

•

F2Q

=-

15

64

得a²=1
∴x2-

y2

3

=1
（2）設(shè)MN：y=k（x+2）代入3x²-y²=3得：（3-k²）x²-4k²x-4k²-3=0△＞0?k²+1＞0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵x1+x2=

4k2

3-k2

∴l：y-

6k

3-k2

=-

1

k

(x-

2k2

3-k2

)
∵l過(guò)Q（x₀，0）∴x0=

8k2

3-k2

∵|NF₂|=2x₁-1且|NF₂|∈[1，3）
∴x₁∈[1，2）

y12=k2(x1+2)2 y12=3x12-3

?k2=

3x12-3

(x1+2)2

令f(x1)=

x12-1

(x1+2)2

∵f′(x1)=

2(2x1+1)

(x1+2)3

＞0
∴f（x₁）在x₁∈[1，2）上單調(diào)遞增
得 k2∈[0，

9

16

)∵x0=8(-1+

3

3-k2

)∴x0∈[0，

24

13

)