Question

13．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²+2x
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）寫出f（x）單調(diào)區(qū)間（不必證明）

Answer 1

分析 （1）求出x＜0時的解析式，即可求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在R上的解析式，寫出f（x）單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．（3分）
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
于是x＜0時f（x）=x²+2x（5分）
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$（6分）
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$
可知f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）、（1，+∞）上單調(diào)遞減          （12分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于中檔題．