Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）①證明：當(dāng)時，函數(shù)在上恰有一個極值點(diǎn)；

②求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立.

注：為自然對數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）求導(dǎo)后，由得遞增區(qū)間，由得遞減區(qū)間；

（2）①求導(dǎo)兩次后，利用零點(diǎn)存在性定理和極值點(diǎn)的概念可證結(jié)論；②當(dāng)時，根據(jù)單調(diào)性可知不合題意，當(dāng)時，利用①的結(jié)論，可知在上的最大值為，再將恒成立轉(zhuǎn)化為最大值即可解決.

（1）當(dāng)時，，，

由，得，由，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）①證明：當(dāng)時，，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時，，，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上有唯一實(shí)根，設(shè)為，則，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，

所以當(dāng)時，函數(shù)在上恰有一個極值點(diǎn).

②當(dāng)時，，由①知在上恒成立，

所以在上為增函數(shù)，所以，

所以在上遞增，所以恒成立， 不合題意，

當(dāng)時，由①知，函數(shù)在上遞減，在上遞增，

設(shè)函數(shù)在上的最大值為，則，

若對任意的，恒有成立.

則，因?yàn)?/span>，所以由得，

得，得，得，

因?yàn)?/span>，所以.