Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，為動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，.若點(diǎn)在軸上，且，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題可得，化簡即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，依條件求出直線的垂直平分線，算出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出范圍.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，依題意可知，

整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

將代入并整理得，

，

，

設(shè)，，則，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，

所以

由題意可知，

又直線的垂直平分線的方程為.

令解得，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

綜上所述，點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是.