Question

設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 已知C＝，acosA=bcosB．

（1）求角A的大��；

（2）如圖，在△ABC的外角∠ACD內(nèi)取一點(diǎn)P，使得PC＝2．過(guò)點(diǎn)P分別作直線CA、CD的垂線PM、PN，垂足分別是M、N．設(shè)∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此時(shí)α的取值．

 

 

Answer 1

（1）A＝,（2）2．

【解析】

試題分析：（1）解三角形問(wèn)題，一般利用正余弦定理進(jìn)行變角轉(zhuǎn)化. 由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝．又因?yàn)镃＝，得A＋B＝，與A＋B＝矛盾，所以A＝B，因此A＝．（2）求PM＋PN的最大值,需先將PM＋PN表示為α的函數(shù)解析式. 在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB) ＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，)，所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).因?yàn)棣痢?0，)，所以α＋∈(，)，從而有sin(α＋)∈(，1]，即2sin(α＋)∈(，2]．于是，當(dāng)α＋＝，即α＝時(shí)，PM＋PN取得最大值2．

解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，

所以有A＝B或A＋B＝． 3分

又因?yàn)镃＝，得A＋B＝，與A＋B＝矛盾，

所以A＝B，因此A＝． 6分

（2）由題設(shè)，得

在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；

在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)

＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，). 8分

所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋). 12分

因?yàn)棣痢?0，)，所以α＋∈(，)，從而有sin(α＋)∈(，1]，

即2sin(α＋)∈(，2]．

于是，當(dāng)α＋＝，即α＝時(shí)，PM＋PN取得最大值2． 16分

考點(diǎn)：正弦定理，三角函數(shù)最值