【題目】已知實數(shù),函數(shù),函數(shù).

(Ⅰ)令,當時,試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;

(Ⅱ)當時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù),均存在實數(shù),有成立?若存在,求出實數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)見詳解;(Ⅱ)

【解析】分析:(Ⅰ)求導,討論參數(shù)的大小,進而研究函數(shù)的定義域和導數(shù)的符號變化,再確定函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),討論的范圍和的大小關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用導數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)性,進而確定函數(shù)的最值.

詳解:(Ⅰ)

1. ,此時函數(shù)的定義域為,故函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增, 內(nèi)單調(diào)遞減.

2. ,,

此時函數(shù)的定義域為,

,此時恒成立.

函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.

綜上,時,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;當時,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增, 內(nèi)單調(diào)遞減.

(Ⅱ)當,假設(shè)存在實數(shù)滿足條件,

上恒成立.

1.,

可化為,

問題轉(zhuǎn)化為:對任意恒成立(*);

(1) ,因為,

,所以函數(shù)時單調(diào)遞減,

,從而函數(shù)時單調(diào)遞增,

所以(*)成立,滿足題意;

(2) ,,

因為,所以,,則當,

,所以函數(shù)時單調(diào)遞增,

從而函數(shù)時單調(diào)遞減,所以此時(*)不成立;

所以當,恒成立時;

2.,

可化為

,

問題轉(zhuǎn)化為:對任意的恒成立(**);

(1),,所以函數(shù)時單調(diào)遞增,,

從而函數(shù)時單調(diào)遞增所以,此時(**)成立;

(2) ,

①若,必有,故函數(shù)上單調(diào)遞減,

所以,

從而函數(shù)時單調(diào)遞減,所以此時(**)不成立;

② 若,,所以

故函數(shù)上單調(diào)遞減,,,

所以函數(shù)時單調(diào)遞減,所以,此時(**)不成立;

所以當,恒成立時,.

綜上所述,恒成立時,,

從而實數(shù)的取值集合為.

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