Question

【題目】已知，實數(shù)，函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）令，當時，試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，令，是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù)，均存在實數(shù)，有成立？若存在，求出實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）求導，討論參數(shù)的大小，進而研究函數(shù)的定義域和導數(shù)的符號變化，再確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，討論的范圍和的大小關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的最值．

詳解：（Ⅰ）

1. ,此時函數(shù)的定義域為，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減.

2. ,，

此時函數(shù)的定義域為，

令，此時恒成立. 令得，

函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

綜上，當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減.

（Ⅱ）當時，假設(shè)存在實數(shù)滿足條件，

則在上恒成立．

1. 當時，

可化為，

令

問題轉(zhuǎn)化為：對任意恒成立(*)；

又

（1） 時，因為，

故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，，

即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，

故，所以(*)成立，滿足題意；

（2） 當，，

因為，所以，記，則當時，，

故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，

從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時(*)不成立；

所以當，恒成立時，；

2. 當時，

可化為

令，

問題轉(zhuǎn)化為：對任意的恒成立(**)；

又

（1）時，，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，即，

從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，此時(**)成立；

（2） 當時，

①若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，即，

從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時(**)不成立；

② 若，則，所以時，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，

所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時(**)不成立；

所以當，恒成立時，.

綜上所述，當，恒成立時，，

從而實數(shù)的取值集合為.