Question

8．已知數(shù)列{ a_n}滿足a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）代值計(jì)算即可
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 解：（1）由a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$（n∈N^*），a₂=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=$\frac{1}{2-a}$，a₃=$\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}$=$\frac{2-a}{3-2a}$，a₄=$\frac{1}{1-\frac{2-a}{3-2a}}$=$\frac{3-2a}{4-3a}$
（2）猜想a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$，n∈N*，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a₁=a，右邊=$\frac{1-1-（1-2）a}{1-（1-1）a}$，猜想成立．
②假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即a_k=$\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}}$=$\frac{k-（k-1）a}{2[k-（k-1）a]-[（k-1）-（k-2）a]}$=$\frac{k-（k-1）a}{（k+1）-[（k+1）-a]a}$，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①，②可知，對(duì)任意n∈N*，a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$，都有成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和實(shí)際的運(yùn)算能力