Question

10．某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋（如圖1）將河兩岸的路連接起來，剖面設(shè)計(jì)圖紙（圖2）如下，

其中，點(diǎn)A，E為x軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，并且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{4+{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點(diǎn)．設(shè)計(jì)時(shí)要求：保持兩曲線在各銜接處（B，D）的切線的斜率相等．
（1）曲線段AB在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式，并寫出定義域；
（2）車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點(diǎn)P所需要的爬坡能力為：M=（該點(diǎn)P與橋頂間的水平距離）×（設(shè)計(jì)圖紙上該點(diǎn)P處的切線的斜率）其中M_P的單位：米．若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動(dòng)力；③內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個(gè)單位長度表示實(shí)際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出方程，利用B為銜接點(diǎn)，即可求出曲線段AB在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式，并寫出定義域；
（2）分類討論，求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)A（a，0）（a＜-2），則可設(shè)方程為y=λ（x-a）²（a≤x≤-2，λ＞0），y′=2λ（x-a）．
曲線段BCD在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{4+{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），
y′=$\frac{-16x}{（4+{x}^{2}）^{2}}$，且B（-2，1），則曲線在B處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ（-2-a）^{2}=1}\\{2λ（-2-a）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a=-6，λ=$\frac{1}{16}$，
∴曲線段AB在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{16}（x+6）^{2}$（-6≤x≤-2）；
（2）設(shè)P為曲線段AC上任意一點(diǎn)．
①P在曲線段AB上，則通過該點(diǎn)所需要的爬坡能力（M_P）₁=$（-x）•\frac{1}{8}（x+6）$=$-\frac{1}{8}[（x+3）^{2}-9]$，
在[-6，-3]上為增函數(shù)，[-3，-2]上是減函數(shù)，最大為$\frac{9}{8}$米；
②P在曲線段BC上，則通過該點(diǎn)所需要的爬坡能力（M_P）₂=$（-x）•\frac{-16x}{（4+{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{16{x}^{2}}{（4+{x}^{2}）^{2}}$（x∈[-2，0]），
設(shè)t=x²，t∈[0，4]，（M_P）₂=y=$\frac{16t}{（4+t）^{2}}$．
t=0，y=0；0＜t≤4，y=$\frac{16}{\frac{16}{t}+t+8}$≤1（t=4取等號），此時(shí)最大為1米．
由上可得，最大爬坡能力為$\frac{9}{8}$米；
∵0.8＜$\frac{9}{8}$＜1.5＜2，
∴游客踏乘不能順利通過該橋；蓄電池動(dòng)力和內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力能順利通過該橋．

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．