Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中設(shè)銳角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點P（x₁，y₁），將射線OP繞坐標(biāo)原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

2

后與單位圓交于點Q（x₂，y₂）記f（α）=y₁+y₂
（1）求函數(shù)f（α）的值域；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=

2

，且a=

2

，c=1，求b．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義,直線與圓的位置關(guān)系

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出函數(shù)f（α）的表達式，即可求出處函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)條件求出C，根據(jù)余弦定理即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)定義知，y₁=sinα，y₂=sin（α+

π

2

）=cosα，
f（α）=y₁+y₂=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

），
∵角α為銳角，
∴

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin（α+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，
則f（α）的取值范圍是（1，

2

]；
（Ⅱ）若f（C）=

2

，且a=

2

，c=1，
則f（C）═

2

sin（C+

π

4

）=

2

，
即sin（C+

π

4

）=1，
則C=

π

4

，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即1=2+b²-2

2

×

2

2

b，
則b²-2b+1=0，
即（b-1）²=0，
解得b=1．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的定義以及余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．