Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

x+y≤1 y-x≤1 y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=（a-1）x+ay在點(diǎn)（-1，0）處取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
若a=0，則目標(biāo)函數(shù)為z=-x，
即x=-z，
此時(shí)滿足目標(biāo)函數(shù)z=（a-1）x+ay在點(diǎn)（-1，0）處取得最大值，
若a≠0，則由z=（a-1）x+ay得，
y=

1-a

a

x+

z

a

，
若a＜0，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的斜率k=

1-a

a

＜0，平移目標(biāo)函數(shù)可知此時(shí)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，直線截距最小，z最大，
若a＞0，
要使目標(biāo)函數(shù)z=（a-1）x+ay在點(diǎn)（-1，0）處取得最大值，
則滿足目標(biāo)函數(shù)的斜率k=

1-a

a

≥1，即a≤

1

2

，此時(shí)滿足0≤a≤

1

2

，
綜上a≤

1

2

，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

]
故答案為：（-∞，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=（a-1）x+ay在點(diǎn)（-1，0）處取得最大值，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．