Question

19．已知$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（1，2），$\overrightarrow{CA}$=（3，1），則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的正弦值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$=（4，3），再求出cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，由此能求出$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的正弦值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（1，2），$\overrightarrow{CA}$=（3，1），
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$=（1，2）+（3，1）=（4，3），
∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{8}{2×5}$=$\frac{4}{5}$，
∴0＜＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞＜$\frac{π}{2}$，
∴sin＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的正弦值為$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查兩向量夾角正弦值的求法，是基礎題，解題時要注意向量坐標運算法則的合理運用．