Question

設f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當a=4時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）如果對任意x₁，x₂∈[0，2]都有g（x₁）-g（x₂）≤M成立，求滿足上述條件的最小整數(shù)M．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，切點和切線的斜率，應用點斜式方程寫出切線方程；
（2）首先將不等式轉(zhuǎn)化為[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，然后求出g（x）的導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，最值，得到M的不等式，求出最小整數(shù)．

解答： 解：（1）當a=4時，f（x）=

4

x

+xln x，
f′（x）=-

4

x2

+ln x+1，
∴f（1）=4，f′（1）=-3，
∴y-4=-3（x-1）．
故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-7=0；
（2）對任意x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≤M成立，
等價于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值- 85 27	遞增	1

由上表可知：g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1，
[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，即M≥

112

27

，
∴滿足條件的最小整數(shù)M=5．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．