Question

若點(diǎn)A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=

cos α -sin α sin α cos α

 對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-b，a），
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）求曲線C：x²+y²=1在矩陣N=

0 1 2 1 0

所對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的新的曲線C′的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：變換、矩陣的相等

專題：計(jì)算題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法，確定矩陣M，再求矩陣的逆矩陣；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)矩陣變換的公式求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入曲線C方程，化簡(jiǎn)即得曲線C'的方程．

解答： 解：（Ι）∵點(diǎn)A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=

cos α -sin α sin α cos α

 對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-b，a），
∴

acosα-bsinα=-b asinα+bcosα=a

得

cosα=0 sinα=1

       …（3分）
即M=

0 -1 1 0

，由M^-1M=

1 0 0 1

得M^-1=

0 1 -1 0

．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）是曲線C：x²+y²=1上任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)P（x₀，y₀）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′（x，y）
則有

x y

=

0 1 2 1 0

x0 y0

，即

x0=y y0=2x

又∵點(diǎn)P在曲線C：x²+y²=1上，
∴4x²+y²=1，即曲線C'的方程為橢圓4x²+y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換，考查了曲線方程的求法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，