Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1，
（1）當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=x²-2bx+$\frac{4}{3}$，當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時(shí)，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求導(dǎo)得$f'（x）=\frac{（1-x）（ax+a-1）}{x^2}$，再對a進(jìn)行分類討論，分別解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）將條件對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）≥g（x₂）轉(zhuǎn)化為g（x₂）≤f（x）_min在x₂∈[1，3]有解，再參變量分離，即2b$≥{x}_{2}+\frac{2}{{x}_{2}}$在x₂∈[1，3]有解，利用基本不等式可知${x}_{2}+\frac{2}{{x}_{2}}≥2\sqrt{2}$，故b$≥\sqrt{2}$．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{（1-x）（ax+a-1）}{x^2}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）＞0得$1＜x＜\frac{1-a}{a}$，∴f（x）的遞增區(qū)間為$（1，\frac{1-a}{a}）$f'（x）＜0得0＜x＜1或$x＞\frac{1-a}{a}$，∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，1）和$（\frac{1-a}{a}，+∞）$．
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{3}$時(shí)，由（1）知，f（x）在（0，1）遞減，在（1，2）遞增，∴$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{2}{3}$，
依題意有$g（{x_2}）≤f{（x）_{min}}=-\frac{2}{3}$在x₂∈[1，3]有解$?2b≥{x_2}+\frac{2}{x_2}$在x₂∈[1，3]有解，
又${x_2}+\frac{2}{x_2}≥2\sqrt{2}$當(dāng)且僅當(dāng)${x_2}=\sqrt{2}$時(shí)等號成立，
∴$b≥\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)將條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化．