Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長為2的等邊三角形，PC=$\sqrt{13}$，M在PC上，且PA∥面MBD．
（1）求證：M是PC的中點；
（2）在PA上是否存在點F，使二面角F-BD-M為直角？若存在，求出$\frac{AF}{AP}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）連AC交BD于E，連ME，推導(dǎo)出E是AC中點，PA∥ME，由此能證明M是PC的中點．
（2）取AD中點O，以O(shè)為原點，OA，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出存在F，使二面角F-BD-M為直角，此時$\frac{AF}{AP}=\frac{3}{8}$．

解答 證明：（1）連AC交BD于E，連ME．
∵ABCD是矩形，∴E是AC中點．
又PA∥面MBD，且ME是面PAC與面MDB的交線，
∴PA∥ME，∴M是PC的中點．
解：（2）取AD中點O，由（1）知OA，OE，OP兩兩垂直．
以O(shè)為原點，OA，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），
則各點坐標為$A（{1，0，0}），B（{1，3，0}），D（{-1，0，0}），C（{-1，3，0}），P（{0，0，\sqrt{3}}），M（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
設(shè)存在F滿足要求，且$\frac{AF}{AP}=λ$，
則由$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AP}$得：$F（{1-λ，0，\sqrt{3}λ}）$，
面MBD的一個法向量為$\overrightarrow n=（{1，-\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，
面FBD的一個法向量為$\overrightarrow m=（{1，-\frac{2}{3}，\frac{λ-2}{{\sqrt{3}λ}}}）$，
由$\overrightarrow n•\overrightarrow m=0$，得$1+\frac{4}{9}+\frac{λ-2}{3λ}=0$，解得$λ=\frac{3}{8}$，
故存在F，使二面角F-BD-M為直角，此時$\frac{AF}{AP}=\frac{3}{8}$．

點評 本題考查點是線段的中點的證明，考查滿足條件的點的位置的確定與線段比值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．