Question

8．對正整數(shù)n，設曲線y=（2-x）xⁿ在x=3處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n+2}}\right\}$的前n項和等于$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出x=3時曲線表示函數(shù)的導函數(shù)，進而可知切線方程，令x=0進而求得數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n+2}}\right\}$的通項公式，再由等比數(shù)列的求和公式，求得答案．

解答 解：∵y=（2-x）xⁿ的導數(shù)為y′=-xⁿ+n（2-x）x^n-1，
y'|_x=3=-3ⁿ-n•3^n-1=-3^n-1（n+3），
∴切線方程為：y+3ⁿ=-3^n-1（n+3）（x-3），
令x=0，切線與y軸交點的縱坐標為a_n=（n+2）•3ⁿ，
所以$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=3ⁿ，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的前n項和S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
故答案為：$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．

點評 本題主要考查了數(shù)列的求和問題，考查導數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導和運用點斜式方程，運用等比數(shù)列的求和公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．