Question

20．如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到A₁點，且A₁O⊥平面BCD．
（1）求證：BC⊥A₁D；
（2）求證：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱錐A₁-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由A₁O⊥平面BCD，得A₁O⊥BC，又BC⊥CD，利用線面垂直的判定得BC⊥平面A₁OD，從而得A₁D?平面A₁OD，即有BC⊥A₁D；
（2）由（1）知：BC⊥A₁D，再由A₁B⊥A₁D，利用線面垂直的判定得A₁D⊥平面A₁BC，再由面面垂直的判定得平面A₁DB⊥平面A₁BC；
（3）由（2）知：A₁D⊥平面A₁BC，可得A₁D⊥A₁C，求解直角三角形得${A_1}C=\sqrt{1{0_2}-{6^2}}=8$，然后利用等積法求得三棱錐A₁-BCD的體積．

解答 （1）證明：∵A₁O⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴A₁O⊥BC，
又BC⊥CD，A₁O∩CD=O，
∴BC⊥平面A₁OD，
∵A₁D?平面A₁OD，
∴BC⊥A₁D；
（2）證明：由（1）知：BC⊥A₁D，
又∵A₁B⊥A₁D，A₁B∩BC=B，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
∵A₁D?平面A₁DB，
∴平面A₁DB⊥平面A₁BC；
（3）解：由（2）知：A₁D⊥平面A₁BC，
∵A₁C?平面A₁BC，∴A₁D⊥A₁C，
∴${A_1}C=\sqrt{1{0_2}-{6^2}}=8$，
∴${V_{{A_1}-BCD}}={V_{D-{A_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×8×6=48$．

點評 本題考查柱、錐、臺體的體積，解答此題的關(guān)鍵是注意折疊問題在折疊前后的變量與不變量，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．