Question

15．若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-2x$在區(qū)間[-1，+∞）上有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)極值的定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-2x，∴f'（x）=x²+2ax-2，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上有極大值和極小值，
∴f'（x）=x²+2ax-2=0在區(qū)間[-1，+∞）上有兩個不等實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}+8＞0}\\{-a＞-1}\\{f′（-1）=1-2a-2＞0}\end{array}\right.$，解得a＜-$\frac{1}{2}$，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件，以及二次函數(shù)根的分布問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．