Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，$\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}}}{{|{P{F_2}}|}}$的最小值為8a，求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 首先利用雙曲線的定義求出關(guān)系式，進(jìn)一步利用均值不等式建立關(guān)系式，$\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\frac{（2a+n）^{2}}{n}$=4a+$\frac{4{a}^{2}}{n}$+n≥8a，即可求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)|PF₂|=n，（n≥c-a），
則：根據(jù)雙曲線的定義：|PF₁|=2a+n，
則：$\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\frac{（2a+n）^{2}}{n}$=4a+$\frac{4{a}^{2}}{n}$+n≥8a，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2a時成立．
所以：c-a≤2a，即c≤3a，
即解得：1＜e≤3，
雙曲線的離心率的取值范圍為：（1，3]．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：雙曲線的定義的應(yīng)用．雙曲線的離心率，均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題型．