Question

14．已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），求函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x²）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 換元t=log₂x，求得0≤t≤1，化簡g（x）即為h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，求出對稱軸t=-2，可得h（t）在[0，1]為增函數(shù)，計算即可得到所求最值．

解答 解：∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即1≤x≤2，
∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
設(shè)t=log₂x，則h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，
∵對稱軸t=-2，h（t）在[0，1]為增函數(shù)，
則g（x）的最小值為h（0）=2，最大值為h（1）=7．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題，注意自變量的范圍，同時考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯題．