Question

已知拋物線的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，以F₁,F₂為焦點的橢圓C過點.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設點，過點F₂作直線與橢圓C交于A,B兩點，且，若的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的標準方程為；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點為，點與關于坐標原點對稱，以，為焦點的橢圓C過點，故可用待定系數(shù)法求橢圓方程，設橢圓的標準方程為，由條件求出即可；（Ⅱ）設點，過點F₂作直線與橢圓C交于A,B兩點，且，若的取值范圍，這是直線與圓錐曲線交點問題，可采用設而不求的解題思想，設出直線的方程（注意需討論斜率不存在情況），與Ａ，Ｂ兩點坐標，利用根與系數(shù)關系來解，當直線斜率不存在時，直接求解A，B的坐標得到的值，當直線斜率存在時，設出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后，利用，消掉點的坐標得到λ與k的關系，根據(jù)λ的范圍求k的范圍，然后把轉(zhuǎn)化為含有k的函數(shù)式，最后利用基本不等式求出的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，由題意得，
設橢圓的標準方程為，
則  ③
   ④         
將④代入③，解得或（舍去）  
所以       
故橢圓的標準方程為                              4分
（Ⅱ）方法一：
容易驗證直線的斜率不為0，設直線的方程為
將直線的方程代入中得：.       6分
設，則由根與系數(shù)的關系，
可得：     ⑤
       ⑥             7分
因為，所以，且.
將⑤式平方除以⑥式，得：

由
所以                           10分
因為，所以，
又，所以，
故
，
令，因為
所以，即，
所以.
而，所以.
所以.                    13分
方法二：
1）當直線的斜率不存在時，即時，，，
又，所以          6分
2）當直線的斜率存在時，即時，設直線的方程為
由得
設，顯然，則由根與系數(shù)的關系，
可得：，                 7分
         ⑤
   ⑥
因為，所以，且.
將⑤式平方除以⑥式得：

由得即
故，解得                 10分
因為，
所以，
又，
故
       11分
令，因為
所以，即，
所以.
所以                                12分
綜上所述：.                          13分