Question

7．已知函數(shù)y=1+2sinxcosx．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]時，求最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先通過二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，得y=sin2x+1，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性及x的取值范圍進而求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）y=1+2sinxcosx=sin2x+1，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵y=sin2x+1，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)y在[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]上單遞減，在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，
∴當x=-$\frac{π}{4}$時有最小值，即為y=0，
當x=-$\frac{π}{2}$時，y=1，x=$\frac{π}{6}$時，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
∴最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，最小值為0．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性質(zhì)是近幾年高考的重點，平時應加強這方面的訓練．