【題目】(2017·全國Ⅱ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點.
(1)證明:直線CE∥平面PAB;
(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1) 取PA的中點F,根據(jù)平幾知識得四邊形BCEF是平行四邊形,即得CE∥BF ,再根據(jù)線面平行判定定理證結(jié)論,(2) 先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設(shè)立各點坐標,根據(jù)方程組各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系求二面角M-AB-D的余弦值.
試題解析: (1)證明 取PA的中點F,連接EF,BF,
因為E是PD的中點,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,
又BC=AD,所以EF綉BC,
四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,
又BF平面PAB,
CE平面PAB,
故CE∥平面PAB.
(2)解 由已知得BA⊥AD,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),
=(1,0,-),=(1,0,0).
設(shè)M(x,y,z)(0<x<1),則
=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).
因為BM與底面ABCD所成的角為45°,
而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,
所以|cos〈,n〉|=sin 45°,
=,
即(x-1)2+y2span>-z2=0.①
又M在棱PC上,設(shè)=λ(0<λ≤1),則
x=λ,y=1,z=-λ.②
由①,②解得 (舍去),
所以M,從而=.
設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則
即
所以可取m=(0,-,2).
于是cos〈m,n〉==.
因此二面角M-AB-D的余弦值為.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè), 是的導(dǎo)函數(shù).
①若對任意的,求證:存在使;
②若,求證: .
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【題目】(2017·金華調(diào)研)如圖,AB=BE=BC=2AD=2,且AB⊥BE,∠DAB=60°,AD∥BC,BE⊥AD.
(1)求證:平面ADE⊥平面BDE;
(2)求直線AD與平面DCE所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若, 都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述函數(shù)有零點的概率;
(2)若, 都是從區(qū)間上任取的一個數(shù),求成立的概率.
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【題目】已知點在橢圓G:上,且橢圓的離心率為.
求橢圓G的方程;
若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點,以AB為底做等腰三角形,頂點為,求的面積.
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【題目】設(shè)橢圓 ()的一個焦點點為橢圓內(nèi)一點,若橢圓上存在一點,使得,則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】某公司想了解對某產(chǎn)品投入的宣傳費用與該產(chǎn)品的營業(yè)額的影響.下面是以往公司對該產(chǎn)品的宣傳費用 (單位:萬元)和產(chǎn)品營業(yè)額 (單位:萬元)的統(tǒng)計折線圖.
(Ⅰ)根據(jù)折線圖可以判斷,可用線性回歸模型擬合宣傳費用與產(chǎn)品營業(yè)額的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(Ⅱ)建立產(chǎn)品營業(yè)額關(guān)于宣傳費用的歸方程;
(Ⅲ)若某段時間內(nèi)產(chǎn)品利潤與宣傳費和營業(yè)額的關(guān)系為,應(yīng)投入宣傳費多少萬元才能使利潤最大,并求最大利潤.
參考數(shù)據(jù): , , , ,
參考公式:相關(guān)系數(shù), ,
回歸方程中斜率和截距的最小二乘佔計公式分別為, .(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))
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【題目】如圖,在矩形中, , 為的中點, 為的中點.將沿折起到,使得平面平面(如圖).
圖1 圖2
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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