【題目】已知橢圓：，其離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，問是否存在常數(shù)，使恒成立？若存在，求出；若不存在，請說明理由．

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于求得，再由離心率為求得，問題得解。

（2）設(shè)直線的方程為,分別表示出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，從而表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可表示出，問題得解。

（1）由題意設(shè)圓的半徑等于，

圓心到直線的距離為，

∴，，

∵離心率

∴，

∴，

∴題意的方程為.

（2）由（1）知點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，由，

得，

設(shè)，

則由題意可知，，

∴，

，

∴

直線方程為，由，

得，

設(shè)，

則，

∴，

∴存在常數(shù)，使恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知幾何體，其中四邊形為直角梯形，四邊形為矩形， ，且， .

（1）試判斷線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，請說明理由；

（2）若，求該幾何體的表面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓方程為，射線與橢圓的交點(diǎn)為M，過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（異于M）．

（1）求證：直線AB的斜率為定值；

（2）求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐 中， 平面 ，底面是等腰梯形，且 ，其中 .

（1）證明：平面 平面 .

（2）求點(diǎn) 到平面 的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解高一學(xué)生暑假里在家讀書情況，特隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生平均每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘），統(tǒng)計(jì)如下表：

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表判斷男生和女生誰的平均讀書時(shí)間更長？并說明理由；

（2）求100名學(xué)生每天讀書時(shí)間的平均數(shù)，并將每天平均時(shí)間超過和不超過平均數(shù)的人數(shù)填入下列的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為“平均閱讀時(shí)間超過或不超過平均數(shù)是否與性別有關(guān)？”

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲廠以千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤是元.

（1）要使生產(chǎn)該產(chǎn)品小時(shí)獲得的利潤不低于元，求的取值范圍；

（2）要使生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為，命中8環(huán)以下的概率為，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán)，一次命中8環(huán)以下的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán)，6、7、8、9表示命中8環(huán)以下，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán)，一次命中8環(huán)以下的概率為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓： 的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)， ， 是橢圓上的兩點(diǎn)，它們在軸兩側(cè)，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點(diǎn).

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點(diǎn).

【解析】【試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知 ,故,由此求得橢圓方程.(II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點(diǎn).

【試題解析】

（Ⅰ）圓與軸交點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸交點(diǎn)即為橢圓的上下兩頂點(diǎn)，所以， .從而，

因此橢圓的方程為： .

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為.

由，消去得.

設(shè)， ，則， .

直線的斜率 ；

直線的斜率 .

.

由的平分線在軸上，得.又因?yàn)?/span>，所以，

所以.

因此，直線過定點(diǎn).

[點(diǎn)睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關(guān)系,考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關(guān)系的判斷.（2）弦長、弦中點(diǎn)問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數(shù)范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設(shè)而不求.（2）坐標(biāo)法.（3）根與系數(shù)關(guān)系.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)對任意的都有，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)．

①若存在實(shí)數(shù)，，使得在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且取值范圍也為，求的取值范圍；

②若函數(shù)的零點(diǎn)都是函數(shù)的零點(diǎn)，求的所有零點(diǎn)．

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