Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4
（Ⅰ）過BC的截面交AA₁于P點，若△PBC為等邊三角形，求出點P的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，求四棱錐P-BCC₁B₁與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比．

Answer 1

分析 （I）計算BC即PB的長，利用勾股定理計算PA，得出A點位置；
（II）過A作AD⊥BC于D，則AD為棱錐P-BCC₁B₁的高，分別計算兩個幾何體的體積得出體積比．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∴BC=2$\sqrt{2}$，
∵△PBC是等邊三角形，∴PB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=2．
即P為A₁A的中點時，△PBC為等邊三角形．
（Ⅱ）過A作AD⊥BC于D，則AD=$\frac{AB•AC}{BC}=\sqrt{2}$．
∵A₁A⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AA₁⊥AD，又AA₁∥BB₁，
∴AD⊥BB₁，由BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴V${\;}_{P-BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}•AD$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×4×\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．
V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×2×2×4$=8．
∴V${\;}_{P-BC{C}_{1}{B}_{1}}$：V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=2：3

點評 本題考查了直棱柱的結構特征，棱柱，棱錐的體積計算，屬于基礎題．