Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．因?yàn)?/span>，即，解得，即可求出拋物線的方程．（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線 上，所以，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．由， 可得直線的方程為．由，得，從而． 所以， ，所以，從而，這表明點(diǎn)到直線， 的距離相等，即可證明結(jié)果．

解法二：（Ⅱ）同解法一可得，直線的方程為，

從而．又直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，即可證明結(jié)果．

試題解析：解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．

因?yàn)?/span>，即，解得，所以?huà)佄锞�的方程為．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線 上，

所以，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．

由， 可得直線的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，

所以， ，

所以，從而，這表明點(diǎn)到直線， 的距離相等，

故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線 上，

所以，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．

由， 可得直線的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，故直線的方程為，

從而．

又直線的方程為，

所以點(diǎn)到直線的距離．

這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．