Question

某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為

1

2

，中獎(jiǎng)可以獲得3分；方案乙的中獎(jiǎng)率為

2

3

，中獎(jiǎng)可以得2分；未中獎(jiǎng)則不得分，每人有且只有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（Ⅰ）若小亮選擇方案甲、方案乙各抽獎(jiǎng)一次，求他的累計(jì)得分不為零的概率；
（Ⅱ）若小亮的抽獎(jiǎng)方式是在方案甲、或方案乙中選擇其一連抽兩次，或選擇方案甲、方案乙各抽一次，求小亮選擇哪一種方式抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得小亮用方案甲中獎(jiǎng)的概率為

1

2

，用方案乙中獎(jiǎng)的概率為

2

3

，兩次中獎(jiǎng)與否互不影響，記“兩次抽獎(jiǎng)的累計(jì)得分為零”的事件為A，由此能求出他的累計(jì)得分不為0的概率．
（Ⅱ）設(shè)小亮兩次都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X₁，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為x₂，則兩次選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₁），兩次選擇方案乙抽獎(jiǎng)得分為Y，其累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為EY，由已知得X₁～B（2，

1

2

），X₂～B（2，

2

3

），由此能求出小亮兩次都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得小亮用方案甲中獎(jiǎng)的概率為

1

2

，用方案乙中獎(jiǎng)的概率為

2

3

，
兩次中獎(jiǎng)與否互不影響，記“兩次抽獎(jiǎng)的累計(jì)得分為零”的事件為A，
∵P（A）=（1-

1

2

）（1-

2

3

）=

1

6

，
P（

.

A

）=1-P（A）=1-

1

6

=

5

6

，
∴他的累計(jì)得分不為0的概率為

5

6

．
（Ⅱ）設(shè)小亮兩次都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X₁，
都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為x₂，
則兩次選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₁），
兩次選擇方案乙抽獎(jiǎng)得分為Y，其累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為EY，
由已知得X₁～B（2，

1

2

），X₂～B（2，

2

3

），
E（X₁）=2×

1

2

=1，E(X2)=2×

2

3

=

4

3

，
∴E（3X₁）=3，E(2X2)=2E(X2)=

8

3

，
E（Y）=3×

1

2

+2×

2

3

=

17

6

，
∵E（3X₁）＞E（Y）＞E（2X₂），
∴小亮兩次都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．