Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，平面A′BC⊥側(cè)面A′ABB′．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M是線段A′C′中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段A′C中點(diǎn)，若AB=BC=AA′=2，求四棱錐C-MNBB′的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）利用直三棱柱的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)即可得出；
（II）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答： （I）證明：如圖，作A在A′B上的射影D．
∵平面ABC⊥側(cè)面A′ABB′，且平面A′BC∩側(cè)面A′ABB′=A′B，
∴AD⊥平面A′BC．
∵BC?平面A′BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
∴AA′⊥底面ABC，
∴AA′⊥BC．
又AA′∩AD=A，∴BC⊥側(cè)面A′ABB′，AB?側(cè)面A′ABB′，
故AB⊥BC．
（II）解：延長(zhǎng)MN交AC于點(diǎn)G，MN為△AC′C的中位線．
∴MN∥CC′，
∵CC′⊥面ABC，
∴MN⊥面ABC，
∵AC?面ABC，∴MN⊥AC，
∵AB=BC，G為中點(diǎn)，∴BG⊥AC．
∵BG∩MN=G，
∴AC⊥面BGN，即CG為四棱錐C-MNBB′的高．
∵CG=

1

2

AC=

1

2

22+22

=

2

，
∴S梯形MNBB′=

1

2

×(1+2)×

2

=

3

2

2

，
V四棱錐C-MNBB′=

1

3

×

3

2

2

×

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．