Question

已知Rt△ABC中，,AB=1，BC=2，D為BC的中點，將△ADB沿AD折起，使點B在△ADC所在平面的射影E在AC上.

（Ⅰ）求證：CD⊥平面BDE;

（Ⅱ）求折起后二面角BADC的大小；

（Ⅲ）求折起后AB與平面BDE所成的角.

Answer 1

（Ⅰ）在對折圖中作BO⊥AD于O,連結OE，由條件及三垂線定理知OE⊥AD，

對照原圖知點B、O、E共線，∴在原圖中

∵BA=BD,∴BE是AD中垂線，

∴∠BDE=∠BAE=90⁰，∴CD⊥DE, 又∵BE⊥平面ACD, ∴CD⊥BE,∴CD⊥平面BDE

（Ⅱ）：由（Ⅰ）知∠BOE就是二面角B-AD-C的平面角，  

如原圖，易求得BO=,OE=，∴∠BOE= arccos，

∴二面角B-AD-C的大小為arccos

（Ⅲ）：在對折圖中作AF⊥ED于F,連結BF，由條件及知AF⊥平面BDE ,

∴∠ABF就是AB與平面BDE成的角，

如原圖，易求得AF=，  ∴∠ABF=30⁰

故AB與平面BDE所成的角為30°．