【題目】已知f(x)=xlnx﹣ax,g(x)=﹣x2﹣2.
(1)對(duì)一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=﹣1時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+3](m>0)上的最值;
(3)證明:對(duì)一切x∈(0,+∞),都有 成立.

【答案】
(1)

解:對(duì)一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立.

也就是 在x∈(0,+∞)上恒成立.令

.x∈(0,1)時(shí),F(xiàn)'(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí),F(xiàn)'(x)>0.

因此F(x)在x=1處取極小值,也是最小值,即F(x)min=F(1)=3,

∴a≤3;


(2)

解:當(dāng)a=﹣1時(shí),f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,由f'(x)=0得

當(dāng) 時(shí),在 上f'(x)<0,在 上f'(x)>0.

因此f(x)在 處取得極小值,也是最小值.故

由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,

因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1].

當(dāng) 時(shí),f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上單調(diào)遞增,

故f(x)min=f(m)=m(lnm+1),f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1];


(3)

證明:要證 成立,即證 ,x∈(0,+∞).

由(2)知a=﹣1時(shí),f(x)=xlnx+x的最小值是 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).

設(shè) ,x∈(0,+∞),則 ,易知 ,

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到.

從而可知對(duì)一切x∈(0,+∞),都有


【解析】(1)對(duì)一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立,可化為a≤lnx+x+ 在x∈(0,+∞)上恒成立.令F(x)=lnx+x+ ,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出;(2)把a(bǔ)=﹣1代入f(x),再求出f′(x),由f'(x)=0得 ,然后分類討論,當(dāng) 時(shí),在 上f'(x)<0,在 上f'(x)>0,因此f(x)在 處取得極小值,由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1],當(dāng) 時(shí),f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上單調(diào)遞增,從而可求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+3](m>0)上的最值;(3)要證 成立,即證 ,由(Ⅱ)知a=﹣1時(shí),f(x)的最小值是 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).設(shè) ,x∈(0,+∞),則 ,易知 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到,即可證得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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