Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+x，若0≤θ≤$\frac{π}{2}$時，f（sinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)f（x）=x³+x單調(diào)遞增的性質(zhì)，可將不等式f（sinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為sinθ＞m-1恒成立，由0≤θ≤$\frac{π}{2}$，可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x³+x為奇函數(shù)；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x³+x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（sinθ）+f（1-m）＞0恒成立?f（sinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴sinθ＞m-1（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）恒成立?m＜sinθ+1恒成立，
由0≤θ≤$\frac{π}{2}$知，0≤sinθ≤1，1≤1+sinθ≤2，
故m∈（-∞，1），
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，突出考查轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題，屬于中檔題．