Question

若函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）=f（-x-1），則函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將問(wèn)題化歸為點(diǎn)之間對(duì)稱問(wèn)題，然后判斷對(duì)稱軸，即對(duì)于函數(shù)y=f（t），當(dāng)自變量取t=x-1，及t=-x-1時(shí)，它們的函數(shù)值相等，當(dāng)t變化時(shí)，這兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)始終是

x-1+(-x-1)

2

=-1，且函數(shù)值即縱坐標(biāo)始終相等，所以該函數(shù)對(duì)稱軸為x=-1．

解答： 解：
對(duì)于函數(shù)y=f（t），
由題意令y₀=f（x-1）=f（-x-1）恒成立，
即當(dāng)t=x-1，及t=-x-1時(shí)，它們的函數(shù)值始終相等；
而（x-1，y₀）與（-x-1，y₀）的中點(diǎn)為（-1，y₀），
即點(diǎn)（x-1，y₀）與點(diǎn)（-x-1，y₀）關(guān)于點(diǎn)（-1，y₀）對(duì)稱，
當(dāng)x任意變化時(shí)，始終有對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為-1不變，
即該函數(shù)y=f（t）關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
所以函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為x=-1．
故答案為x=-1．

點(diǎn)評(píng)：研究函數(shù)的對(duì)稱性，最終要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)之間的對(duì)稱，這是研究此類問(wèn)題的通法，此題的概念性也很強(qiáng)，要注意體會(huì)．