Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax+b在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為3x-y-2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且存在x＞0，使得k＞$\frac{f（x+1）}{x}$成立，求k的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線的方程，解方程可得a=2，b=-1，即可得到所求解析式；
（2）由題意可得$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$的最小值小于k，設(shè)g（x）=$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$（x＞0），則g′（x）=$\frac{x-1-ln（x+1）}{{x}^{2}}$，設(shè)h（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知：函數(shù)h（x）在（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，且在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為x₀，則x₀-1=ln（x₀+1），x₀∈（2，3），即可得出g（x）的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx+ax+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+a+lnx，
可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線切線的斜率為1+a，切點(diǎn)為（1，a+b），
由在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為3x-y-2=0．
可得1+a=3，a+b=1，解得a=2，b=-1，
即有f（x）=xlnx+2x-1；
（2）k∈Z，且存在x＞0，使得k＞$\frac{f（x+1）}{x}$成立，即為
$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$的最小值小于k，
設(shè)g（x）=$\frac{（x+1）ln（x+1）+2x+1}{x}$（x＞0），
則g′（x）=$\frac{x-1-ln（x+1）}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0）．
h′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$＞0，
即有h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又h（2）＜0，h（3）＞0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知：
函數(shù)h（x）在（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，且在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為x₀，則x₀-1=ln（x₀+1），x₀∈（2，3），
g（x）_min=$\frac{（{x}_{0}+1）ln（{x}_{0}+1）+2{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$=x₀+2，
則k＞x₀+2，k∈Z，
故k的最小值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程和函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了函數(shù)零點(diǎn)存在定理，但是無法求出時(shí)的問題解決方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．