Question

19．△ABC中，a=5，b=7，c=x，若它是銳角三角形，求c的范圍．

Answer 1

分析 由銳角三角形中，最大角為銳角，由余弦定理，可得x的范圍．

解答 解：因為：a=5，b=7，c=x，
①若c＞b，即x＞7，由題意可得C為最大角，
由余弦定理，可得cosC＞0，
即a²+b²-c²＞0，
即25+49-x²＞0，解得7＜x＜$\sqrt{74}$；
②若x＜7，由題意可得B為最大角，
由余弦定理，可得cosB＞0，
即a²+c²-b²＞0，
即25+x²-49＞0，解得2$\sqrt{6}$＜x＜7．
③若x=7，由余弦定理，可得cosB=cosC=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{25+49-49}{2×5×7}$=$\frac{5}{14}$＞0，三角形為銳角三角形，滿足題意．
綜上可得：c的取值范圍是（2$\sqrt{6}$，$\sqrt{74}$）．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，注意銳角三角形的定義的運用，考查運算能力和分類討論思想，屬于中檔題．