Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，O為AC中點(diǎn)．（Ⅰ）在BC₁上確定一點(diǎn)E，使得OE∥平面A₁AB，并說明理由；（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的大�。�

Answer 1

分析：（I）由已知中AA₁=A₁C=AC=2，O為AC中點(diǎn)，則A₁O⊥AC．又由側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，由面面垂直性質(zhì)可得A₁O⊥平面ABC．以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)線面平行向量法公式及向量共線構(gòu)造方程組，解方程即可判斷出滿足條件的E的位置．
（II）分別求出平面A₁BC₁的法向量與平面A₁AB的法向量，然后代入二面角向量法夾角公式，即可得到二面角A-A₁B-C₁的大�。�

解答：解：（Ⅰ）E為BC₁中點(diǎn)．（2分）
因?yàn)锳₁A=A₁C，且O為d的中點(diǎn)，所以A₁O⊥AC．
又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，所以A₁O⊥平面ABC．以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．（1分）
由題意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
則有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．（2分）
設(shè)平面AA₁B的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則有

n• AA1 =0 n• AB =0

?

y+ 3 z=0 x+y=0

，令y=1，得x=-1，z=-

3

3

所以n=(-1，1，-

3

3

)．（4分）
設(shè)E=(x0，y0，z0)，

BE

=λ

BC1

，即(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，

3

)，得

x0=1-λ y0=2λ z0= 3 λ

所以E=(1-λ，2λ，

3

λ)，得

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，由已知OE∥平面A₁AB，
得

OE

•n=0，即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=

1

2

．即存在這樣的點(diǎn)E，E為BC₁的中點(diǎn)．（6分）
（Ⅱ）由（I）得，已知

A1B

=(1，0，-

3

)，

A1C1

=(0，2，0)，設(shè)面A₁BC₁的法向量為
m=（a，b，c），則

m• A1B m• A1C1

=0  =0

?

a- 3 c=0&  2b=0

，令c=

3

，所以m=(3，0，

3

)．（8分）
所以cos＜m，n＞=

m•n

|m|m|

=

-3-1

12 • 7 3

=

2 7

7

．（10分）
由圖可得二面角A-A₁B-C₁的大小為arccos(-

2 7

7

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，建立空間坐標(biāo)系，將線面垂直、平行及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．