Question

對任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使不等式x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運用配方和二次函數(shù)的最值，可得0≥mx₂+3-x₂²+

(x2-2)2

4

，再由參數(shù)分離，可得4m-4≤3x₂-

16

x2

在[1，2]有解，求出右邊的最大值，解不等式即可得到m的范圍．

解答： 解：由于x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3
即為x₁²+x₁（x₂-2）+

(x2-2)2

4

=（x₁+

x2-2

2

）²
≥mx₂+3-x₂²+

(x2-2)2

4

，
由于任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使不等式x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3成立，
則有（4m-4）x₂≤3x₂²-16，即有4m-4≤3x₂-

16

x2

在[1，2]有解，
則4m-4≤3×2-8，解得m≤

1

2

．
則有m的取值范圍是（-∞，

1

2

]．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立和有解的求法，考查函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．