Question

為扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供了80萬(wàn)元的無(wú)息貸款，用于某大學(xué)生開(kāi)辦公司，生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電子產(chǎn)品，并約定用該公司的經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)逐步償還無(wú)息貸款，一盒子該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40元；員工每人每月工資是2500元，公司每月支出其它費(fèi)用15萬(wàn)元，該產(chǎn)品每月銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，為保證公司月利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元，該公司應(yīng)安排員工多少人？
（3）若該公司有80名員工，則該公司最早可在幾個(gè)月內(nèi)還清無(wú)息貸款？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）從圖中看，這是一個(gè)分段一次函數(shù)，40≤x≤60和60＜x＜100時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式不同，每段函數(shù)都經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，使用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）中的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，可計(jì)算出月銷售量，設(shè)可安排員工m人，利潤(rùn)=銷售額一生產(chǎn)成本-員工工資-其它費(fèi)用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤(rùn)的最大值，即可求解．

解答： 解：（1）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，令y=kx+b，
則

40k+b=4 60k+b=2

，
解得k=-0.1，b=8，
故y=-0.1x+8，
同理，當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=-0.05x+5．
故y=

-0.1x+8，40≤x≤60 -0.05x+5，60＜x≤80

；
（2）設(shè)公司可安排員工a人，定價(jià)50元時(shí)，
由5=（-0.1×50+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，解得a=40，
所以公司可安排員工40人；
（3）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，
利潤(rùn)w₁=（-0.1x+8）（x-40）-15-20=-0.1（x-60）²+5，
則當(dāng)x=60時(shí)，w_max=5萬(wàn)元；
當(dāng)60＜x＜100時(shí)，
w₂=（-0.05x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-0.05（x-70）²+10，
∴x=70時(shí)，w_max=10萬(wàn)元，
∴要盡早還清貸款，只有當(dāng)單價(jià)x=70元時(shí)，獲得最大月利潤(rùn)10萬(wàn)元，
設(shè)該公司n個(gè)月后還清貸款，則10n≥80，
∴n≥8，即n=8為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)與一次不等式的應(yīng)用，是一道綜合性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題，能力要求比較高．