Question

7．若0＜x＜1，則$\frac{sinx}{x}，{（\frac{sinx}{x}）^2}$與$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$的大小關(guān)系為（　　）

• A． ${（\frac{sinx}{x}）^2}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜\frac{sinx}{x}$
• B． $\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜\frac{sinx}{x}＜{（\frac{sinx}{x}）^2}$
• C． ${（\frac{sinx}{x}）^2}＜\frac{sinx}{x}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$
• D． $\frac{sinx}{x}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜{（\frac{sinx}{x}）^2}$

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-sinx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷sinx＜x，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{sinx}{x}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性即可判斷．

解答 解：令f（x）=x-sinx，0＜x＜1．
∴f′（x）=1-cosx＞0，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）＞f（0）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，
∴sinx＜x
再g（x）=$\frac{sinx}{x}$，
則g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{x-tanx}{{x}^{2}}}{cosx}$，
∵0＜x＜1＜$\frac{π}{2}$＜tanx
∴g′（x）＜0，
故函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$＜$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$，
故選：C

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及比較大小的方法，關(guān)鍵時構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．