Question

18．如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，PA=AD，且M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥平面PCD；
（3）若PA=2，AB=4，求三棱錐B-PMC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點E，連結AE，NE．推導出四邊形AMNE是平行四邊形，從而MN∥AE，由此能證明MN∥平面PAD．
（2）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥CD，由CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，推導出AE⊥PD，MN∥AE，由此能證明MN⊥平面PDC．
（3）V_{三棱錐B-PMC}=V_{三棱錐P-MBC}，能求出三棱錐B-PMC的體積．

解答 證明：（1）取PD的中點E，連結AE，NE．
因為N是PC的中點，所以EN∥DC，且$EN=\frac{1}{2}DC$．
在矩形ABCD中，AB∥DC，
又M是AB的中點，所以AM∥DC，且$AM=\frac{1}{2}DC$．
所以AM=∥EN，
所以四邊形AMNE是平行四邊形，…（2分）
所以MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD．  …（4分）
（2）因為PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD．在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE．…（6分）
在△PAD中，PA=AD，E是PD的中點，所以AE⊥PD，
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PDC．…（8分）
因為MN∥AE，所以MN⊥平面PDC．…（10分）
解：（3）因為${S_{△MBC}}=\frac{1}{2}MB•BC=\frac{1}{2}×2×2=2$，
PA⊥平面ABCD，
所以${V_{三棱錐P-MBC}}=\frac{1}{3}•{S_{△MBC}}•PA=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$，…（12分）
所以三棱錐B-PMC的體積${V_{三棱錐B-PMC}}={V_{三棱錐P-MBC}}=\frac{4}{3}$．…（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．