Question

（2011•資中縣模擬）函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）若奇函數(shù)在x=0處有定義，則f（0）=0，代入即可得b，再由f（

1

2

）=

2

5

代入即可得a值
（2）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故只需判斷x＞0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性即可，利用單調(diào)性定義即可證明
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將不等式中的f脫去，等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式組，解之即可

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）的奇函數(shù)
∴f（0）=0，即得b=0
∵f（

1

2

）=

2

5

．
∴

a× 1 2

1+( 1 2 )2

=

2

5

，即得a=1
∴f（x）=

x

1+x2

（2）設(shè)任意x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)
∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0
?f（t-1）＜-f（t）
?f（t-1）＜f（-t）  （根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)）
?

-1＜t-1＜1 -1＜-t＜1 t-1＜-t

  （根據(jù)定義域和單調(diào)性）
?0＜t＜

1

2

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式